integrali di linea

In matematica, un integrale di linea o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Per essere meno astratti, pensiamo all'applicazione degli integrali di linea alla fisica. Consideriamo una forza F il cui valore dipende dalla sua posizione in uno spazio bidimensionale, F(x, y), evidentemente il lavoro compito da questa forza per spostare un oggetto di massa, m, dal punto P al punto Q, dipenderà dal percorso effettuato (perché F varia a seconda del percorso).

Per esempio, consideriamo l'integrale di tra e lungo i due differenti percorsi indicati in figura 1.

**Figura 1:** *un esempio di integrale di linea*
$\begin{figure} \epsfysize =1.75in \centerline{\epsffile{AppendixA/figA.11.eps}} \end{figure}$

dove $dl=\sqrt{dx^2+dy^2}$ .

Lungo il percorso PQ abbiamo , per cui $dl= \sqrt{2}\, dx$ . così

(1326)

L'integrazione lungo il percorso PR-RQ fornisce


			(1327)

Si noti che l'integrale dipende dal percorso seguito per passare dal punto iniziale a quello finale.

Il tipo più comune di integrale di linea è quello in cui i contributi da e sono valutati separatamente, piuttosto che attraverso la lunghezza del percorso : per es.,

$\begin{displaymath} \int_P^Q \left[ f(x,y)\,dx + g(x,y)\,dy\right]. \end{displaymath}$

(1328)

Come esempio di questa notazione, consideriamo l'integrale

(1329)

da calcolare lungo i due percorsi indicati in figura 2.

**Figura 2:** *un esempio di integrale di linea*
$\begin{figure} \epsfysize =1.75in \centerline{\epsffile{AppendixA/figA.12.eps}} \end{figure}$

Lungo il percorso PQ abbiamo e , quindi

(1330)

Lungo il percorso PR-RQ (si tenga conto che dx = dy)

(1331)

Anche questa volta l'integrale dipende dal percorso d'integrazione.

Supponiamo di trovare un integrale di linea che non dipende dal percorso d'integrazione. Ne segue che

(1332)

per alcune funzioni

. Dato

per un punto

nel

piano, allora

(1333)

definisce

per tutti gli altri punti nel piano. Noi possiamo tracciare una mappa del contorno del

. L'integrale di linea tra i punti

and

è semplicemente la variazione in altezza nel profilo (contour) della mappa tra questi due punti:

(1334)

Così,

(1335)

Per esempio, se

allora

(1336)

è indipendente dal percorso d'integrazione.

E' chiaro che vi sono due tipi distinti di integrali di linea. Quelli che dipendono solo dai loro punti estremi e non dal percorso d'integrazione, e quelli che sipendono sia dai punti estremi che dal percorso d'integrazione.

tredotto da: http: //farside.ph.utexas.edu/teaching/

differenziali esatti

1	2	3	4	5	6	7	8
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