teorema di Lagrange e sviluppi in serie

teorema di LagrangeSe f(x) è una funzione reale di variabile reale continua nell'intervallo chiuso e limitato [a , b] e derivabile in ciascun punto interno a tale intervallo, esclusi gli estremi1, esiste almeno un punto, xo interno all'intervallo, tale che:

equazione di Lagrange

Tradotto dal "marziano", questa equazione dimostra che per il punto c, si può tracciare una retta parallela alla secante che congiunge i due estremi a, b.

Questo teorema trova una evidente giustificazione grafica (v. figura a destra).

Bello? Sì, è bello. Però occorre capire la conseguenza di questo teorema. Anche quelle sul portafogli degli automobilisti...
Alcuni recenti autovelox modello SICVE, misurano il tempo che impiega una macchina per coprire lo spazio tra due punti, e ne calcolano la velocità media in quel tratto. Successivamente, applicando il teorema di Lagrange, possono calcolare se si è superato il limite di velocità!

Per comprendere la cosa, consideriamo il tempo t come variabile x e lo spazio s come variabile y. Allora la funzione che esprime lo spazio percorso nel tempo sarà s = f(t) .

Tale funzione è continua e derivabile su tutto il tratto, perché le automobili non hanno né accelerazioni né frenate istantanee (nel senso che non passano da 80 a 100 km/h in 0 sec).

Ora, sappiamo che la velocità è il rapporto tra lo spazio percorso in un certo tempo t e il tempo impiegato a percorrere quello spazio. La velocità in un istante t è il limite del rapporto incrementale tra s e t, cioè la derivata dello spazio calcolata rispetto al tempo.

Ciò premesso, si collocano due rilevatori di velocità nei punti iniziale e finale del tratto percorso e si misura il tempo impiegato per percorrere tale tratto. Cioè si misura il tempo nei due estremi iniziale e finale: t1 e t2.

applichiamo il teorema di Lagrange

applicazione autovelox

questo significa che nell'intervallo considerato esiste un istante, t, in cui la velocità è uguale alla velocità media che l'automobilista ha tenuto in quel tratto. Infatti, al primo membro c'è la velocità media: lo spazio totale diviso il tempo totale. Se la velocità media è uguale al limite di velocità imposto su tale tratto, esiste almeno un punto nell'intervallo, s, (cioé nel tragitto percorso) in cui la velocità dell'automobile eguaglia la velocità media. Ora, poiché è praticamente impossibile (per la presenza di pendenze anche ridotte) che l'automobile abbia mantenuto per tutto il percorso una velocità pari alla velocità media, è evidente (matematicamente) che esiste almeno un intorno del "punto di Lagrange" in cui la velocità è stata inferiore o superiore alla velocità media: l'automobilista ha superato il limite di velocità!

Multe: anche la rilevazione del tutor è annullabile

Con la sentenza emessa il 6 ottobre 2008, un Giudice di Pace di Viterbo ha accolto il ricorso di un automobilista, annullando il verbale che gli contestava il mancato rispetto dei limiti di velocità, rilevati per mezzo dell'apparecchio denominato 'tutor', con applicazione erronea di una riduzione del 5% sulla velocità effettivamente rilevata.

Il tutor infatti consente di accertare le violazioni di "eccesso di velocità" attraverso il calcolo della media di velocità percorsa tra due postazioni, diversamente dall'autovelox che consente di rilevare la velocità immediatamente. Ricorda il Giudice che solo in questo secondo caso è possibile applicare una riduzione del 5% come previsto ex D.M. 29/10/97, mentre nel caso di utilizzo del tutor deve essere applicata una riduzione diversa, progressiva, del 5, 10, 15, come precisato dal comma 3 dell'art. 345 delle disposizioni di attuazione del codice della strada.
Il Giudice di Pace ha affermato che qualora la violazione venga accertata mediante calcolo della velocità media e venga applicata tout court la sola riduzione del 5%, non vi è certezza dell'esatto superamento della velocità massima consentita e, pertanto, in tale situazione la contestazione effettuata è dubbia. Di conseguenza il verbale deve essere annullato.

conseguenze del teorema di Lagrange

1° Corollario: se in tutto l'intervallo ]a , b[ si suppone f '(xo) = 0, allora la funzione f (xo) è costante in ]a , b[.

2° Corollario: se in un intervallo ]a , b[ la derivata f '(x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in tale intervallo; se invece è negativa, la funzione è decrescente.

3° Corollario: l'esistenza del "punto di Lagrange", equivale a dire che la funzione f (x) nel punto c, assume lo stesso valore che assume la retta ad essa tangente in quel punto.

esempio: si consideri la funzione y = -x2 + 4 definita nell'intervallo [-1 , 2]. Siccome la funzione è continua, si può applicare il teorema di Lagrange agli estremi della funzione a = -1 ; b = 2. In corrispondenza degli estremi, la funzione assume i valori f (a) = 3 ; f (b) = 0. Applicando il teorema di L. si trova:

[f (b) - f (a)]/( b - a) = (0 - 3) /[2 - (-1)] = -1 che è il coefficiente angolare della secante gli estremi della funzione.

l'equazione della retta parallela alla secante è : y - yc = m (x - xc)

in questa equazione, il coefficiente angolare è m = -1, e i punti xc e yc si calcolano come segue:

la derivata della funzione data è: y ' = - 2x e quindi questa derivata, in un punto c, deve assumere il valore del coefficienta angolare della secante. Pertanto - 2x = - 1 e dunque x = 1/2 = c. Poiché c cade all'interno del campo di esistenza della funzione, al valore di x = c = 1/2 corrisponde il valore y = -x2 + 4 = -1/4 + 4 = 15/4

in definitiva la retta tangente in P(1/2 ; 15/4) è : y - 15/4 = - 1 (x + 1/2) ed effettivamente in P assume il valore della funzione data.

sviluppo in serie di Taylor - Mac Laurin

1) Con una calcolatrice scientifica si ottengono con estrema facilità i valori delle funzioni goniometriche, logaritmi, potenze di qualsiasi base e qualsiasi esponente, ma i valori che appaiono sul display sono una sorta di magia per gli studenti che non hanno un pò di curiosità. Lo sviluppo in serie permette di soddisfare questa curiosità al prezzo di un minimo impegno.
2) Nel calcolo integrale nella gran parte dei casi non esiste la primitiva della funzione integranda e pertanto, approssimare la funzione con un'altra i cui valori siano abbastanza sovrapponibili alla prima, può fornire una stima dell'area che si sta cercando.

attenzioneIl teorema di Lagrange fornisce questa idea: se il valore assunto in un punto c da una funzione che rispetta le ipotesi del teorema di L. può essere sostituito dal valore assunto nel punto c da una retta, allora si potrebbe cercare di individuare punti "c" all'interno di tutto l'intervallo di definizione della funzione data. Se questo fosse possibile, forse si potrebbe sostituire il valore della funzione in un qualsiasi punto con quello di una somma di funzioni più semplici.

questa idea è stata sviluppata da Taylor e successivamente da Mac Laurin che hanno portato alla formula seguente:

sviluppo in serie di Mac Laurin

come si vede, sotto certe condizioni, una qualsiasi funzione, f (x), può essere approssimata come una somma di polinomi.

esempio: si consideri la funzione f(x) = sen (x) e calcoliamone le prime tre derivate:

derivate del seno

alle quali corrispondono, nel punto 0 i valori:

e quindi lo sviluppo in serie fornisce:

sviluppo in serie del seno

i valori attribuiti alla variabile x devono essere espressi in radianti (90º = π/2   ; 45  = π/4   ; ecc.)

con lo stesso procedimento seguito per la funzione seno, si ottiene lo sviluppo in serie del ln(x)

sviluppo in serie del logaritmo

Il grafico che segue mostra come con l'aumento dei termini del polinomio, l'approssimazione ad una data funzione (in questo caso sen x) risulti via via migliore.

sviluppo in serie di taylor

1i concetti di intervallo chiuso, funzione continua, derivabile, ecc. verranno esaminati nella parte applicativa.


il concetto di limite il concetto di derivata2 3 integrali indefiniti ed equazioni differenziali4 integrali definiti5 integrali di linea e differanziali esatti6 esempi applicativi7 logaritmi e diagrammi logaritmici8
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