Applicando una forza costante, F, tangente alla superficie superiore, questa si muoverà con una velocità costante, v, trascinando con sé la superficie ad essa inferiore, che a sua volta trascinerà quella sottostante, e così via. In particolare, ognuna di queste superfici, scorrerà con velocità sempre minore rispetto a quella sovrastante, fino ad arrivare all'ultimo strato che rimarrà fermo.
La differenza di velocità tra due superfici, è espressa dalla relazione:
Riportando su un grafico (v. sopra) la velocità di taglio, dv/dy , in funzione della forza di taglio (v. fondo pagina) applicata, τ, si ottiene un "reogramma" costituito ad una retta passante per l'origine: i fluidi che scorrono seguendo questo andamento, sono detti fluidi newtoniani. Il coefficiente angolare della retta è f, e misura la fluidità del mezzo o la facilità di scorrimento. Nel reogramma in figura, abbiamo due fluidi newtoniani, A e B; poiché la retta A ha pendenza maggiore della retta B, è evidente che A è più fluido di B: a parità di forza applicata, A scorre più facilmente.
Considerando infine l'inverso del coefficiente di fluidità, si ottiene una misura del coefficiente di viscosità del mezzo: η = 1/f. Così, la retta A rappresenta un fluido meno viscoso di B.
Le dimensioni di η, si ricavano dalla relazione:
η = 1/f = F dy/A dv 
η = [N][sec]/[m]2 = [Pa][sec]
Poiché la viscosità di un fluido è una grandezza anisotropa, cioè che varia con la direzione, questa caratteristica viene evidenziata ponendo l'equazione (1) nella forma:
 |
si vede che la viscosità di un fluido è definita dal gradiente della velocità di scorrimento. Ricordando il significato di gradiente, segue che la viscosità deve essere misurata nelle direzione in cui si ha massima velocità di scorrimento.
E' stata progettata un'ampia varietà di reometri per estrusione capillare per simulare alcuni processi indutriali sotto condizioni controllate, così che vari fattori influenzanti il comportamento del flusso possano essere isolati e quantificati. Nell'animazione a destra (tratta dal sito: www.magna-projects.com/rheology_main.htm), è mostrato un reometro capillare collegato ad un sensore che interfacciato con un opportuno trasduttore e seguendo la legge di Poiseuille (v. formula seguente), restituisce l'andamento del flusso su un monitor.
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dove: r è il raggio del capillare, s la sua lunghezza, v il volume di fluido che transita nel tempo t, Δp la differenza di pressione esistente fra due estremi del capillare (due tacche indicatrici).
| 0o | 20o | 60o | |
| acqua | 1,8 | 1,00 | 0,65 |
| glicerina | 10.000 | 1.410 | 81 |
| confronto fra la viscosità dinamica di acqua e glicerina espressa in mPoise | |||
La figura a sinistra illustra un semplice dispositivo sperimentale per dimostrare la presenza di viscosità nei gas. Lo strumento è costituito da due dischi affacciati di cui quello inferiore è imperniato su una punta metallica e quello superiore è collegato ad un filo inestensibile; l'insieme è posto sotto una campana di vetro per evitare le correnti d'aria ed assicurare la corretta intrepretazione del fenomeno. Facendo ruotare il filo, il piatto superiore prende a ruotare attorno al proprio asse e dopo un pò il suo movimento viene trasmesso al piatto inferiore. Poiché i due piatti non sono collegati fra loro, dobbiamo concludere che il movimento si è trasmesso attraverso l'aria. Con questa premessa, sulla base del concetto di viscosità, vediamo di trovare - seguendo una dimostrazione semplificata rispetto a quella dovuta a Boltzmann - una descrizione matematica del fenomeno.
Poiché il flusso di un gas internamente o all'esterno dei polmoni è di considerevole importanza sia dal punto di vista della respirazione che dell'anestesia, è interessante cercare la relazione tra la viscosità ed alcune altre proprietà dei gas.
La figura a destra mostra la sezione trasversale di un tubo simile ad un bronco polmonare nel quale fluisce aria verso l'alto con velocità, v. Questa velocità è una velocità media d'insieme in quanto le molecole si muovono con diverse velocità. Così, fissiamo l'attenzione su due molecole che si trovano sulla superficie di due immaginari cilindri concentrici a e b interni al tubo di flusso. Le superfici di a e b si trovano ad una reciproca distanza L che corrisponde al percorso libero medio di un gas, cioè lo spazio che una molecola può percorrere prima di urtarne un'altra.
All'interno di un gas che fluisce attraverso un tubo, come avviene per l'aria nei polmoni, le molecole più vicine alle pareti hanno la tendenza a muoversi in misura mediamente meno veloce rispetto alle molecole che si muovono al centro del tubo. Infatti, il gas aderente alle pareti del tubo, viene adsorbito da queste e rimane praticamente immobile. Così, mentre il gas fluisce nel tubo, la velocità molecolare rispetto alle pareti varia da zero ad un massimo nel centro del tubo. Il valore della velocità relativa massima nel centro del tubo, dipende dalla viscosità del gas.
Riassumendo: poiché mediamente il movimento delle molecole sullo strato a (più vicino alle pareti del tubo) è più lento di quelle sullo strato b, quando una molecola salta dallo strato a allo strato b, la velocità media delle molecole sullo strato b si riduce e viceversa quando una molecola passa dallo strato b allo strato a. Così, c'è un continuo scambio di energia attraverso il flusso di molecole che scorre nel tubo. Quando le molecole urtano contro le parteti, la loro energia cinetica viene ceduta a queste come calore ed il movimento si riduce. E' per questo fenomento che si produce quella resistenza al flusso che prende il nome di viscosità.
La differenza tra la velocità vb e va può essere espressa come:
vb - va = L dv/dx
dove: L = cammino libero medio ; dv/dx è il gradiente di velocità per cm.
moltiplicando ambo i membri per la massa, m e per il numero di molecole, N, che passano da a a b, si ha la quantità di moto portata allo strato b :
m N (vb - va) = m L N dv/dx
ambo i termini corrispondono ad un impulso, F · Δt, e quindi:
F · Δt = m L N dv/dx
posto Δt = 1 sec, si ha:
F = m L N dv/dx
ora, ricordando che la viscosità, η, è il rapporto fra forze di taglio, F, e gradiente di velocità lungo l'asse ortogonale al moto, (dv/dx), si ha:
η = m L N
Il moto che abbiamo considerato è lungo l'asse x; tuttavia, le molecole si muovono nelle tre direzioni dello spazio (x, y, z). Inoltre, si può assumere che in conseguenza degli urti, una parte delle molecole si muove da destra verso sinistra, una dall'alto verso il basso e una dal basso verso l'alto e dunque i versi sono sei: +x, -x, +y, -y, +z, -z. Questo significa che delle N molecole che compongono il gas, N/6 sono quelle interessate al passaggio tra due strati contigui a e b; d'altra parte, mediamente altrettante molecole passeranno dallo strato b allo strato a, e quindi le molecole interessate a questo flusso saranno 2 N/6; inoltre, tenendo conto che le molecole si muovono con velocità media, Vm, la precedente equazione (stipulando la relazione N = Vm N/3 ) diventa:
η= m L Vm N/3
semplificando e ponendo N·m = d = densità di massa molecolare in 1 cm3:
| h = d L Vm/3 |
questa equazione, ottenuta con un procedimento approssimato (ci siamo limitati a considerare due strati di flusso), è importante in quanto rende ragione di un fatto non intuitivo: la viscosità di un gas è indipendente dalla pressione (almeno finché le pressioni portano il cammino libero medio a dimensioni confrontabili con quelle delle molecole). Questo risultato è spiegabile pensando che all'aumentare della pressione aumenta il numero di molecole che passa da uno strato all'altro, però contemporaneamente diminuisce il cammino libero medio in quanto aumenta la frequenza degli urti: diminuisce così la distanza fra lo strato di partenza e quello di arrivo di ciascuna molecola e quindi il contributo al trasporto di energia che può dare. Ovviamente per le sostanze fluide, essendo ridotto il cammino libero medio, la pressione ha una diretta influenza sulla viscosità (un fluido la cui densità e viscosità non varia al variare della pressione si dice ideale).
L'acqua sotto i 30°C (v. diagramma a destra) è la sola eccezione, per cui si trova che la viscosità decresce prima di aumentare in modo esponenziale. A parte questa eccezione, l'aumento della viscosità con la temperatura è legato al fatto che le molecole di un fluido si spostano attraverso i vuoti che le separano le une dalle altre. Se la pressione aumenta, il volume diminuisce e quindi anche il volume di questi vuoti si riduce, con un conseguente aumento della viscosità.
La viscosità dei liquidi aumenta esponenzialmente con la pressione. Il particolare comportameno pressione-viscosità - sotto i 30°C - dell'acqua può essere spiegato dal fatto che un incremento della pressione (fino a circa 150 MPa) produce deformazioni che riducono la forza della rete coesiva costituita dai legami idrogeno (prevalenti a basse temperature e pressioni), che è anche parzialmente responsabile della viscosità. Con l'aumento della pressione, questa riduzione nella coesività è più che compensata dalla riduzione degli spazi intermolecolari. Ad una pressione più elevata (e densità), il bilancio tra i legami idrogeno e gli effetti delle forze di van der Waals (che si manifestano a breve distanza) pende a favore di quest'ultime che diventano prevalenti; inoltre i legami idrogeno sono più forti a causa della maggior vicinanza degli atomi di ossigeno: la viscosità, quindi, aumenta con la pressione. La linea tratteggiata indica i minimi di viscosità.
| esempio 1: la viscosità degli oli lubrificanti diminuisce rapidamente con l'aumentare della temperatura, per questo normalmente si misura ad una data temperatura (p.e. 40 °C). L'indice di viscosità misura la variazione della viscosità con la temperatura; più elevato è il valore dell'indice di viscosità minore è la variazione della viscosità con la temperatura. |
| esempio 2: in caso di ipotermia, si presentano altri due effetti negativi a carico del sistema cardiovascolare che sono legati alla viscosità: aumenta la stessa viscosità del sangue che, in pratica, diventa più denso (a 25° la viscosità è 1,8 volte superiore a quella misurata a 37 °C); aumentano le resistenze vascolari, cioè il sangue incontra un ostacolo due, tre volte maggiore a scorrere all'interno delle arterie e delle vene. |
| esempio 3: la viscosità dell'aria a 0o è 1,71 10-5 N s /m2, A 18o è 1,83 10-5 N s /m2; a 40o è 1,90 10-5 N s /m2. Dunque aumenta con la temperatura... spiegate perché. |
Poiché la viscosità cinematica è data dal rapporto tra viscosità assoluta e densità, dimensionalmente è espressa da [L]2/[T] dove L è una lunghezza e T è il tempo.
| ηc = η/d |
Quando un fluido scorre sotto l'azione della forza di gravità, la viscosità cinematica fornisce una misura che tiene conto anche della densità propria del fluido. Quando volumi uguali di due fluidi sono messi in viscosimetri capillari identici e lasciati scorrere per gravità, il fluido avente maggior viscosità cinematica impiega più tempo a scorrere rispetto a quello meno viscoso.
Per esempio, il mercurio ha una viscosità assoluta 1,7 volte maggiore di quella dell'acqua; però ha anche una densità 13,6 volte maggiore e quindi a parità di volume percola molto più rapidamente dell'acqua. Così la viscosità cinematica dell'acqua (1,002 10-6) è minore di quella del mercurio (1,14 10 -6 cm2/s).
Dal momento che la densità di un liquido non è modificata in misura significativa dalla temperatura, l'effetto della temperatura sulla viscosità cinematica è lo stesso di quello sulla viscosità assoluta.
La differenza fra le due espressioni vettoriali consiste proprio nell'orientamento delle forze, F, che originano una forza di pressione o di taglio. Infatti, la sollecitazione di pressione, p, è il risultato di una forza applicata perpendicolarmente ad una superficie; la sollecitazionedi taglio, τ, è il risultato di una forza applicata tangenzialmente ad una superficie.
La figura a destra mostra come la superficie interessata ad una sollecitazione di pressione è la porzione di area sulla quale è applicata la forza:
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